Suponha que X 1 , … , X n possuam uma distribuição normal multivariada. Mostre que X 1 , … , X n são variáveis independentes se e somente se

C o v X i , X j = 0 ,     q u a n d o   i ≠ j

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Esta questão é melhor respondida na notação matricial, isso requer conhecimento da FGM de uma distribuição normal multivariada

M X t = e t ' m + 1 2 t ' V t

Onde V é a matriz de covariância-variância de X e m é o vetor das médias, então, vamos supor X é um vetor de variáveis aleatórias independentes, isto significa

V a r X i = σ 2 ,     C o v X i , X j = 0 ,     i ≠ j

Passo 2

Agora vamos supor que a recíproca é verdadeira e V = d i a g ( σ 1 2 , σ 2 2 ,   … ,   σ n 2 ) . Nós devemos mostrar que X é um vetor de variáveis aleatórias independentes, para fazer isto, nós mostraremos que a FGM comum é o produto das FGMS marginais

M X t = e t ' m + 1 2 t ' V t = ∏ j = 1 n e t j μ j + 1 2 σ j 2 t j 2   = ∏ j = 1 n M X j t j

Produtório vem de produto, então temos que a FGM comum é o produto das FGMS marginais.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)