Suponha no Problema 4.72 que os dois times tenham o mesmo nível e que, portanto, tenham probabilidade i de vencer cada partida. Determine o número esperado de partidas jogadas.

Passo 1

Fala galeraaa!

Vamos que vamos! ☺

Definimos uma variável aleatória X que marca o número de jogos que devem ser jogados para determinar um vencedor.

Observe que X ∈ { 4 ,   5 ,   6 ,   7 } . Nós temos isso X = 4 se e somente se algumas das equipes venceram todos os primeiros quatro jogos são dados por:

P X = 4 = 2 ⋅ 1 2 4 = 2 - 3 = 0 ,   125

Se X ≥ 4 , digamos que o time A ganhou o último jogo. Escolhemos X - 4 jogos fora de X - 1 primeiro eles e diga que todos eles foram vencidos pelo time B.

Para todos os outros jogos, diga que o time A venceu neles. Faça tudo isso novamente para o caso em que a equipe B é a vencedora geral.

Portanto:

P X = k = 2 ⋅ p a r a - 4   p a r a - 1   ⋅ 1 2 p a r a

Assim, o número esperado de jogos que devem ser jogados é de:

E X =   ∑ k = 4 7 p a r a ⋅   P X = k = 5 ,   8125

Resposta

E X =   5 ,   8125

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