Suponha no Problema de Autoteste 7.3 que as 20 pessoas devam se sentar em sete mesas, três das quais possuem 4 cadeiras e quatro das quais possuem 2 cadeiras. Se as pessoas se sentam aleatoriamente, determine o valor esperado do número de casais sentados na mesma mesa.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos representar o   n ú m e r o   d e   c a s a i s   c a s a d o s que estão sentados à mesma mesa e vamos definir as variáveis ​​do indicador I j como:

I j = 1 ,     s e   E j   o c o r r e 0 ,     s e   E j   n ã o   o c o r r e

Onde E j ,   j = 1,2 , … , 10 denota o evento

E j = o j-ésimo casal casado está na mesma mesa

Portanto,

X =   ∑ j = 1 10 I j

E, portanto, a esperança dos casais casados que estão sentados na mesma mesa é

E X = E ∑ j = 1 10 I j = ∑ j = 1 10 E I j

E com isso

E X = ∑ j = 1 10 P { E j }

Passo 2

Vamos considerar os seguintes eventos

W j i = Mulher do j-ésimo casal que está na i-ésima mesa.

M j i = H o m e m   d o   j - é s i m o   c a s a l   q u e   e s t á   n a   i - é s i m a   m e s a

Pelo que, sem perda de generalidade, assumimos que as mesas 1, 2 e 3 são compostas por 4 lugares e as mesas 4,5,6 e 7 são compostas por 2 lugares. Suponha que o assento seja feito aleatoriamente. Então

P E j = P { j-ésimo casal que está na 1° mesa}+…+P{ j - é s i m o   c a s a l   q u e   e s t á   n a   7 °   m e s a }

Com isso, nós temos uma expressão grande, mas relativamente simples de resolver

P E j = P W j 1 P M j 1 W j 1 + … + P W j 7 P { M j 7 | W j 7 }

Passo 3

Substituindo os valores, nós temos que

P E j = 4 20 3 19 + 4 20 3 19 + 4 20 3 19 + 2 20 1 19 + 2 20 1 19 + 2 20 1 19 + 2 20 1 19

Com isso, nós temos o seguinte resultado

P E j = 11 95

E portanto, a esperança é dada por

E X = 10 11 95 = 22 19

Resposta

22 19