Suponha que, no Problema 7.70, continuemos a jogar a moeda até que dê cara. Seja N o número necessário de jogadas. Determine

(a) P N ≥ i ,     i   ≥ 0

(b) P N = i

(c) E [ N ]

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin??

Vamos para mais um problema de Probabilidade.

Do enunciado do problema anterior temos que o valor de p é distribuído uniformemente no intervalo [0,1]. E podemos ainda definir que N, variável que marca o número de jogadas até obter a primeira cara, é uma distribuição geométrica. Assim:

f p s = 1   p a r a   s ∈ ( 0,1 )

(a) O evento N ≥ i indica a primeira Cara obtida no i-ésimo lançamento. Isso equivale ao fato que os primeiros i – 1 lançamentos foram Coroa. Usando a lei da probabilidade total, temos:

P N ≥ i = ∫ 0 1 P ( N ≥ i p = s ) f p s d s

P N ≥ i = ∫ 0 1 1 - s i - 1 d s =   1 i

Passo 2

(b) Vamos agora determinar P(N=1), usando a relação a seguir, temos:

P N = 1 = P N ≥ 1 - P N ≥ i + 1 =   1 i - 1 i + 1 =   1 i ( i - 1 )

Passo 3

(c) Para determinar E(N), temos que:

E N = ∑ n = 1 ∞ P N ≥ 1 = ∑ n = 1 ∞ 1 i   =   ∞

Resposta

(a) P N ≥ i =   1 i

(b)

P N = 1 =   1 i ( i - 1 )

(c) E N =   ∞