Enunciado

Suponha que quatro inspetores em uma fábrica de filmes tenham de estampar a data de validade em cada pacote de filme, ao final da linha de montagem. John, que estampa 20% dos pacotes, não estampa a data de validade em um de cada 200 pacotes; Tom, que estampa 60% dos pacotes, erra uma vez a cada 100 pacotes; Jeff, que estampa 15% dos pacotes, erra uma vez a cada 90 pacotes; e Pat, que estampa 5% dos pacotes, erra uma vez a cada 200 pacotes. Se um cliente reclama que sua embalagem de filme não contém a data de validade, qual é a probabilidade de que ela tenha sido inspecionada por John?

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Organizando os eventos e as probabilidades.

Vamos usar J 1 para representar o evento no qual a data é carimbada por John.

P ( J 1 ) = 0,2

T para representar o evento onde a data é carimbada por Tom.

P T = 0,6

J 2 para o evento em que a data é carimbada por Jeff.

P J 2 = 0,15

P para o evento onde a data é carimbada por Pat.

P P = 0,05

Então, bora lá resolver a questão!!

Passo 2

Usando S para o evento em que a data de validade é estampada na embalagem. Logo, S ' é o evento onde não há data de validade na embalagem.

Jonh falha em carimbar a data de validade uma vez a cada 200 embalagens.

P S ' J 1 = 1 200 = 0,005

Tom falha uma vez a cada 100 embalagens.

P S ' T = 1 100 = 0,01

Jeff falha uma vez a cada 90 embalagens.

P S ' J 2 = 1 90 = 0,0111

E o Pat falha uma vez a cada 200 embalagens também.

P S ' P = 0,005

Passo 3

Queremos achar a probabilidade de dado que a embalagem está sem validade, a chance de ter sido falha do John.

P ( J 1 | S ' )

Antes de calcularmos, vamos encontrar a probabilidade de a embalagem não ter a data de validade carimbada. Pelo teorema da probabilidade total:

P S ' = P J 1 P S ' J 1 + P T P S ' T + P J 2 P S ' J 2 + P P P ( S ' | P )

P S ' = 0,2 0,005 + 0,6 0,01 + 0,15 0,0111 + ( 0,05 ) ( 0,005 )

P S ' = 0,0089

Agora, podemos achar a probabilidade solicitada pelo enunciado. Usando a definição de probabilidade condicional:

P J 1 S ' = P J 1 ∩ S ' P S '

P J 1 S ' = P J 1 P ( S ' | J 1 ) P ( S ' )

= ( 0,2 ) ( 0,005 ) 0,0089

P J 1 S ' = 0,1124

Resposta

0,1124

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