Suponha que X i ,   i = 1 , … , n represente as estatísticas de ordem de um conjunto de n variáveis aleatórias uniformes no intervalo (0,1), e observe que a função densidade de X i é dada por

f x = n ! i - 1 ! n - i ! x i - 1 1 - x n - 1 ,     0 < x < 1

A – Calcule V a r X i ,   i = 1 , … , n

B – Que valores de i minimizam e maximizam V a r ( X i ) , respectivamente?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A - Primeiramente, nós temos que saber uma propriedade chave da densidade beta, se uma variável tem uma densidade β ( i , n ) , portanto:

∫ 0 1 x i - 1 1 - x n - 1   d x = Γ i Γ ( n ) Γ ( i + n )

E com isso, nós temos que

∫ 0 1 x i - 1 1 - x n - 1   d x = i - 1 ! n - 1 ! i + n - 1 !

Com isso em mente, temos que

V a r X i = E X i 2 - E X i 2

Logo, temos o seguinte resultado

E X i = n ! i - 1 ! n - i ! ∫ 0 1 x x i - 1 1 - x n - 1   d x  

Desenvolvendo essa integral, nós temos que

E X i = n ! i - 1 ! n - i ! ∫ 0 1 x i + 1 - 1 1 - x n - i + 1 - 1   d x

Passo 2

Nós conseguimos reconhecer esse padrão como uma distribuição de β ( i + 1 , n - i + 1 ) , então nós podemos usar a seguinte propriedade para poder resolvê-la, com isso

E X i = n ! i - 1 ! n - i ! i ! n - i ! n + 1 ! = i n + 1  

E de modo similar

E X i 2 = n ! i - 1 ! n - i ! ∫ 0 1 x 2 x i - 1 1 - x n - i   d x = n ! i - 1 ! n - i ! ∫ 0 1 x i + 2 - 1 1 - x n - i + 1 - 1   d x

O que basicamente é uma densidade beta de β ( i + 2 , n - i + 1 ) , o que significa

E X i 2 = n ! i - 1 ! n - i ! i + 1 ! n - i ! n + 2 ! = i i + 1 n + 1 n + 2

Em seguida, inserimos a fórmula de variância para concluir

V a r X i = i ( 1 + n - i ) n + 1 2 ( n + 2 )

Passo 3

B – Para maximizar ou minimizar a variância, nós vamos usar condições de primeira ordem (ou seja, derivar em relação a i e, em seguida, definir a derivada como zero)

∂ ∂ i V a r X i = 1 + n - 2 i = 0

Com isso, nós temos que

1 + n 2 = i

Como a segunda derivada pode ser menor que zero, o i máximo deve ser

1 + n 2

O mínimo i ocorre quando i = n e quando i = 1 . 😊

Resposta

a ) V a r X i = i ( 1 + n - i ) n + 1 2 ( n + 2 )

b ) 1 + i 2 ; i = n ; i = 1