Suponha que represente as estatísticas de ordem de um conjunto de n variáveis aleatórias uniformes no intervalo (0,1), e observe que a função densidade de é dada por
A – Calcule
B – Que valores de minimizam e maximizam , respectivamente?
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
A - Primeiramente, nós temos que saber uma propriedade chave da densidade beta, se uma variável tem uma densidade , portanto:
E com isso, nós temos que
Com isso em mente, temos que
Logo, temos o seguinte resultado
Desenvolvendo essa integral, nós temos que
Passo 2
Nós conseguimos reconhecer esse padrão como uma distribuição de , então nós podemos usar a seguinte propriedade para poder resolvê-la, com isso
E de modo similar
O que basicamente é uma densidade beta de , o que significa
Em seguida, inserimos a fórmula de variância para concluir
Passo 3
B – Para maximizar ou minimizar a variância, nós vamos usar condições de primeira ordem (ou seja, derivar em relação a e, em seguida, definir a derivada como zero)
Com isso, nós temos que
Como a segunda derivada pode ser menor que zero, o i máximo deve ser
O mínimo ocorre quando e quando . 😊