Suponha que X seja uma variável aleatória com esperança finita μ e variância σ², e que g(.) seja uma função que possui derivada segunda. Mostre que
Dica: Expanda g(.) em uma série de Taylor em torno de μ. Use os três primeiros termos e ignore o resíduo.
Passo 1
Salve galera estudiosa, tudo certin??
Vamos para mais um problema de Probabilidade.
Se n ≥ 0 é um inteiro e g é uma função n vezes diferenciável no intervalo fechado [a,x] e n-1 vezes diferenciável no intervalo aberto (a,x), temos que:
Onde Rn representa o resíduo, depende de x e é pequeno quando x próximo de a.
Expandindo a série polinomial de Taylor, temos:
Calculando o valor esperado em ambos os lados da equação, e sabendo que E(x – μ) = 0, temos:
Ignorando o resíduo, temos que:
Como queríamos demonstrar.
Resposta
Veja a demonstração.