Suponha que X seja uma variável aleatória com esperança finita μ e variância σ², e que g(.) seja uma função que possui derivada segunda. Mostre que

E g X ≈ g μ + g ' ' μ 2 σ ²

Dica: Expanda g(.) em uma série de Taylor em torno de μ. Use os três primeiros termos e ignore o resíduo.

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin??

Vamos para mais um problema de Probabilidade.

Se n ≥ 0 é um inteiro e g é uma função n vezes diferenciável no intervalo fechado [a,x] e n-1 vezes diferenciável no intervalo aberto (a,x), temos que:

g x = g a + g ' a 1 ! x - a + g ' ' a 2 ! x - a 2 + … +     g n a n ! x - a n + R n

Onde Rn representa o resíduo, depende de x e é pequeno quando x próximo de a.

Expandindo a série polinomial de Taylor, temos:

g x = g μ + g ' μ 1 ! x - μ + g ' ' μ 2 ! x - μ 2 + R n

Calculando o valor esperado em ambos os lados da equação, e sabendo que E(x – μ) = 0, temos:

E [ g x ] = g μ + 0 + g ' ' μ 2 ! σ 2 + R n ( σ 2 )

Ignorando o resíduo, temos que:

E g x ≈ g μ + g ' ' μ 2 ! σ 2

Como queríamos demonstrar.

Resposta

Veja a demonstração.