Suponha que X seja uma variável aleatória não negativa com função distribuição F. Mostre que, se F ( x )   =   1   -   F ( x ) , então E X n = ∫ 0 ∞ x n - 1 F ( x ) d x

Dica: Comece com a identidade

X n = n ∫ 0 x x n - 1 l X ( x ) d x

Onde

l x x =   1 ,   s e   x < X 0 ,   c a s o   c o n t r á r i o

Passo 1

Fala galeraaa!

Vamos que vamos!

Seja X uma variável aleatória não negativa com função de distribuição F.

Conhecemos F - ( x ) = 1 - F ( x ) .

X n = n   ∫ 0 x x n - 1 d x

= n   ∫ 0 ∞ x n - 1 I x ( x ) d x

E [ I x ( x ) ] = P [ X > x ]

= 1 - P [ X < x ]

= 1 - F ( x )  

= F - ( x )

Portanto,

E X n = n   ∫ 0 ∞ x n - 1   F ( x ) d x

Resposta

E X n = n   ∫ 0 ∞ x n - 1   F ( x ) d x