Suponha que X seja uma variável aleatória normal com média μ e variância σ 2 . Use os resultados do Exercício Téorico 7.46 para mostrar que

E X n = ∑ j = 0 n 2 n 2 j μ n - 2 j σ 2 j 2 j ! 2 j j !

Na equação anterior, n 2 é o maior inteiro menor ou igual a n 2 . Verifique a sua resposta fazendo n = 1 e n = 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Nós é dado que X   ~   N μ , σ 2   e vamos supor Z   ~   N ( 0,1 ) , logo, nós podemos transformar Z em X usando a relação

X = μ + σ Z

E agora, vamos utilizar o teorema binomial para obter o seguinte resultado:

E X n = E μ + σ Z n = ∑ i = 0 n n i σ i E Z i μ n - 1

Usando o exercício anterior, nós sabemos que a esperança não existe para os i-ésimos ímpares, então nós temos que

E X n = ∑ i ≤ n ,   i   í m p a r n i σ i E Z i μ n - 1

Passo 2

Com isso, nós temos que

E X n = ∑ i = 0 n 2 n 2 i σ 2 i E Z 2 i μ n - 2 i

O que nos indica necessariamente o seguinte

E X n = ∑ i = 0 n 2 n 2 i σ 2 i 2 i ! 2 i i ! μ n - 2 i

Então, conseguimos provar o que nos foi pedido

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)