Suponha que X seja uma variável aleatória normal com parâmetros μ = 0 e σ 2 = 1 , e considere I , independente de X , tal que P I = i = 1 2 = P [ I = 0 ] . Agora defina Y como

Y =   X ,     s e   I = 1 - X ,     s e   I = 0

Colocando em palavras, Y   tem a mesma probabilidade de ser igual a X ou - X .

A – X e Y são independentes?

B – I e Y são independentes?

C – Mostre que Y é normal com média 0 e variância 1.

D – Mostre que C o v X , Y = 0 .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A - Não, eles não são independentes. Suponha que X = 5 . Então, Y torna-se uma variável aleatória discreta onde pode assumir valores de 5 e - 5 com as mesmas probabilidades.

Sem qualquer condição, Y é uma variável aleatória contínua.

B - Sim, são independentes. Se I = 1 , temos que Y = X e se I = 0 , temos Y = - X . Como X é simétrico em relação a zero, temos X e - X são igualmente distribuídos. Então, em ambos os casos, Y tem uma distribuição a posteriori igual a distribuição anterior.

Passo 2

C - Vamos provar que a CDF de Y é Φ . Pegue qualquer y ∈ R . Usando a lei da probabilidade total, temos que

P Y ≤ y = P Y ≤ y I = 1 P Y = 1 + P Y ≤ y I = 0 P ( I = 0 )

Com isso, nós temos que

P Y ≤ y = 1 2 P X ≤ y + P - X ≤ y = 1 2 P X ≤ y + P X ≥ - y

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)