Suponha que X e Y sejam variáveis aleatórias de Bernoulli. Mostre que X e Y são independentes se e somente se C o v ( X ,   Y )   =   0 .

Passo 1

Fala galeraaa!

Vamos que vamos!

Sejam X e Y variáveis ​​aleatórias de Bernoulli com os parâmetros p 1 ,   p 2 ∈ ( 0,1 ) . Então, E [ X ] = p 1   e   E [ Y ] = p 2 .

( ⇒   : )   S u p o n h a   q u e   X   e   Y sejam independentes. Desde que:

E X Y = 0 1 - p 1   p 2 + 1 p 1 p 2 = p 1 p 2 ,

então:

C o v ( X ,   Y ) = E ( X Y ) - E ( X )   E ( Y ) = ( p 1 p 2 ) - p 1 ( p 2 ) = 0  

C o v ( X ,   Y ) = 0

E [ X Y ] = E [ X ]   E [ Y ]

P 1 P 2 = P X = 1 ,   Y = 1 = P X = 1 P Y = 1 = p 1 ( p 2 )

Portanto, $ { X = - 1 }   e   { Y = 1 }   s ã o eventos independentes ⇒   X   e   Y são variáveis ​​aleatórias independentes.

Resposta

Portanto, $ { X = - 1 }   e   { Y = 1 }   s ã o eventos independentes ⇒   X   e   Y são variáveis ​​aleatórias independentes.

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