Suponha que X 1 ,   X 2 ,   X 3 ,   X 4 ,   X 5 sejam variáveis aleatórias independentes contínuas com mesma função distribuição F e mesma função densidade f, e considere.

I = P X 1 < X 2 < X 3 < X 4 < X 5 .

a) mostre que I não depende de F;

b) avalie I ;

c) forneça uma explicação intuitiva para a sua resposta da letra (b).

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão supondo que X 1 ,   X 2 ,   X 3 ,   X 4 ,   X 5 sejam variáveis aleatórios independentes contínuas com mesma função densidade F, temos que considerar

I = P X 1 < X 2 < X 3 < X 4 < X 5 .

Encontre:

a) mostre que I não depende de F;

b) avalie I ;

c) forneça uma explicação intuitiva para a sua resposta da letra (b).

Passo 2

Na letra (a) para mostrarmos que I não é dependente de F, temos

I = p X 1 < X 2 < X 3 < X 4 < X 5

u i = f x i = 1,2 , 3,4 , 5

I = p { 1 < 2 < 3 < 4 < 5 }

Na letra (b) para avaliarmos I basta,

X 1   é   i n d e p e n d e n t e   d e   X 0

X 1   é   i n d e p e n d e n t e   d e   X 1 ,   X 2

X 3   é   i n d e p e n d e n t e   d e   X 1 ,   X 2

X 4   é   i n d e p e n d e n t e   X 1 , X 2 , X 3

X 5   é   i n d e p e n d e n t e   X 1 , X 2 , X 3 , X 4

E por fim na letra ( c ) realizando a explicação intuitiva da letra (b) temos,

X 1 ,   X 2 ,   X 3 ,   X 4 ,   X 5 → f x = 1,2 , 3,4 , 5

Viu, ela e bem simples, espero ter ajudado até a próxima.

Resposta

a) I = p { 1 < 2 < 3 < 4 < 5 }

b)     X 1   é   i n d e p e n d e n t e   d e   X 0

X 1   é   i n d e p e n d e n t e   d e   X 1 ,   X 2

X 3   é   i n d e p e n d e n t e   d e   X 1 ,   X 2

X 4   é   i n d e p e n d e n t e   X 1 , X 2 , X 3

X 5   é   i n d e p e n d e n t e   X 1 , X 2 , X 3 , X 4

c) f x = 1,2 , 3,4 , 5