Suponha que Z 1 , Z 2 , … , Z n   sejam variáveis aleatórias normais padrão independentes, e que

S j = ∑ i = 1 j Z i

a) qual é a distribuição condicional de S n dado que S k = y para k = 1 , … , n ?

b) Mostre que para 1 ≤ k ≤ n , a distribuição condicional de S k dado que S n = x é normal com média x k n e variância k n - k n .

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão supondo que Z 1 , Z 2 , … , Z n   sejam variáveis aleatórias normais padrão independentes, e que

S j = ∑ i = 1 j Z i

a) qual é a distribuição condicional de S n dado que S k = y para k = 1 , … , n ?

b) Mostre que para 1 ≤ k ≤ n , a distribuição condicional de S k dado que S n = x é normal com média x k n e variância k n - k n .

Passo 2

Na letra (a) para acharmos a distribuição condicional de S n = y para k = 1 , … n ?

Notando que,

S n - S k = ∑ i = k + 1 n Z i é uma variável aleatória independente de S k

Então S n é uma variável aleatória normal com y e variância n - k

Na letra (b) para mostrarmos que para 1 ≤ k ≤ n , na distribuição condicional de S k dado S n = x , com média de x k n e variância k ( n - k n

F S k | S n = F S k ,   S n ( y , x ) F S n ( x )

C 1 F S n | S k x y F S n ( y ) (onde C 1 = 1 F S n ( x ) )  

C 1 1 2 π n - k e - x - y 2 2 n - k       1 2 π k     e - y 2 2 k

C 2 exp ⁡ - x - y 2 2 n - k - y 2 2 k

C 3 exp ⁡ 2 x y 2 n - k - y 2 2 n - k - y 2 2 k

C 4 exp ⁡ - n 2 k n - k y - k n x 2

Ficando com a média e a variância valendo

M = k n x v a r x = k ( n - k ) n

Resposta

a) S n é uma variável aleatória normal com y e variância n - k

b) M = k n x v a r x = k ( n - k ) n