Suponha que X i ,   i   =   1,2 , 3 , sejam variáveis aleatórias de Poisson independentes com respectivas médias λ i ,   i   =   1,2 , 3 . Considere X   =   X 1   +   X 2   e   Y   =   X 2   +   X 3 . Diz-se que o vetor aleatório X, Y possui distribuição de Poisson bivariada.

a) Determine E [ X ]   e   E [ Y ] .

b) Determine C o v ( X ,   Y ) .

c) Determine a função de probabilidade conjunta P { X   =   i ,   Y   = j ] .

Passo 1

Fala galeraaa!

Vamos que vamos!

Suponha que X i ,   i = 1,2 , 3 , sejam variáveis ​​aleatórias de Poisson independentes com as respectivas médias λ i ,   i = 1,2 , 3 .

Seja X = X 1 + X 2   e   Y = X 2 + X 3 .

No item (a), temos:

E X = E X 1 + X 2

= E [ X 1 + X 2 ]

= E [ X 1 ] + E [ X 2 ]

= λ 1 + λ 2

E Y = E X 2 + X 3

= E X 2 + X 3

= E X 2 + E X 3

= λ 2 + λ 3

No item (b), temos:

C o v X ,   Y = C o v X 1 + X 2 ,     X 2 + X 3

= C o v ( X 1 ,   X 2 + X 3 ) + C o v ( X 2 ,   X 2 + X 3 )

= C o v X 2 ,   X 2

= V a r ( X 2 )

= λ 2

No item (c), temos:

Iremos condicionar em X 2 daí, temos:

P { X = i ,   Y = j } = ∑ k P { X = i ,   Y = j }

= P { X 2   = k } = ∑ k P { X = i ,   Y = j ∣ X 2 = k }

= ∑ k P { X 1 = i - k ,   X 3 = j - k ∣ X 2

= ∑ k = 0 m i n i , j e λ 1 λ 1 i - k i - k ! e - λ 3 λ 3 λ 3 j - k j - k ! e - λ 2 λ 2 k k !

Resposta

a )   = λ 2 + λ 3 .

  b )   = λ 2 .

  c )   P { X = i ,   Y = j } = ∑ k = 0 m i n i , j e λ 1 λ 1 i - k i - k ! e - λ 3 λ 3 λ 3 j - k j - k ! e - λ 2 λ 2 k k !

  .