Suponha que X e Y sejam variáveis aleatórias com valores inteiro

p i j = P ( X = i | Y = j ) e q j i = P ( Y = j | X = i )

Mostre que:

P X = i , Y = j = p ( i | j ) ∑ i p ( i | j ) q ( j | i )

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão sabendo que X e Y sejam variáveis aleatórias com valores inteiros se,

p i j = P ( X = i | Y = j ) e q j i = P ( Y = j | X = i )

Mostre que:

P X = i , Y = j = p ( i | j ) ∑ i p ( i | j ) q ( j | i )

Passo 2

Sabendo que devemos provar que,

P X = i , Y = j = p ( i | j ) ∑ i p ( i | j ) q ( j | i ) , temos

P X = i , Y = j = p ( x = i | y = j ) ∑ i p ( x = i | y = j ) p ( y = j | x = i )

Ficando,

P X = i , Y = j = 1 ∑ i p ( x = i | y = j ) p ( y = j | x = i )

Espero ter ajudado meus amigos, até a próxima.

Resposta

P X = i , Y = j = 1 ∑ i p ( x = i | y = j ) p ( y = j | x = i )