Suponha que uma sequência de tentativas independentes na qual cada tentativa com probabilidade de sucesso p seja realizada até que um sucesso ocorra ou que um total de n tentativas seja atingido. Determine o número médio de tentativas realizadas. Dica: Os cálculos são simplificados se você usar a identidade que diz que, para uma variável aleatória X com valor inteiro não negativo,

E X =   ∑ i = 1 ∞ P X ≥ i .

Passo 1

Fala galeraaa!

Vamos que vamos!

Defina X como o número de tentativas realizadas. Como sabemos que X ∈ \ { 1 ,   … ,   n } , temos que:

E ( X ) = ∑ i = 1 ∞ P ( X ≥ i ) = ∑ i = 1 n P ( X ≥ i )

Observe que o evento X ≥ i significa que tivemos todas as falhas nas primeiras tentativas de i - 1 .

Portanto:

P ( X ≥ i ) = 1 - p i - 1

que implica:

E X = ∑ i = 1 n 1 - p i - 1 = ∑ i = 0 n - 1 1 - p î = 1 - 1 - p n p

Resposta

E ( X ) = 1 - 1 - p n p

.