Suponha que tenhamos um método para simular variáveis aleatórias a partir das distribuições F, e F2. Explique como podemos simular a partir da distribuição

F x = p F 1 x   + 1 - p F 2 x   0 < p < 1 ?

Forneça um método para simular a partir de

F x = { 1 3 1 - e - 3 x + 2 3 x           0 < x ≤ 1 1 3 1 - e - 3 x + 2 3                 x > 1                

.

Passo 1

Fala galeraaa!

Vamos que vamos!

Suponha que X i ∼ F i ,   i = 1,2 que podemos gerar. Agora, gere um número aleatório em ( 0,1 ) , chame-o de U .     S e   U < p , declare X = X 1 .     S e   U ≥   p , declare X = X 2 . Devido ao fato de que X assume valor X 1 com probabilidade p e valor X 2 com probabilidade 1 - p , temos que X tem CDF:

F ( x ) = p F 1 ( x ) + 1 - p F 2 ( x )

Para resolver a segunda parte deste problema, definimos que:

F 1 x = 1 3 1 - e - 3   x + 2 3 x  

F 2 ( x ) = 1 3 ( 1 - e - 3 x ) + 2 3

Agora podemos escrever;

F ( x ) = χ 0 < x ≤ 1 x F 1 ( x ) + χ 1 < x x F 2 ( x )

Considere a variável aleatória G ∼ E x p o ( 1 ) e defina p = P ( G ≤ 1 ) . Agora, podemos gerar a variável aleatória X.

F ( x ) = p F 1 ( x ) + 1 - p F 2 ( x )

e usando a primeira parte deste exercício, temos que X tem a distribuição desejada.

Resposta

Considere jogar uma moeda. Se cair cara, declare X = X 1 . Caso contrário, declare X = X 2 .

.

.

.