A taxa de risco h(t) de câncer no pulmão de um fumante homem com idade de t anos é tal que

λ t = 0,027 + 0,00025 t - 40 2 ,     t ≥ 40

Supondo que um homem fumante de 40 anos de idade sobreviva a todos os de mais riscos, qual é a probabilidade de que viva até as idades de (a) 50 e (b) 60 anos sem desenvolver câncer no pulmão?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Suponha que a função de taxa de risco seja λ ( t ) , então probabilidade de uma pessoa de um ano sobreviver até a idade B ( B > A ) é a probabilidade de uma pessoa de um ano A chegar a idade B, com a condição que idade de B seja maior do que A, em termos matemáticos, temos

P U m a   p e s s o a   d e   i d a d e   A   c h e g a   a   i d a d e   B = P [ S u a   i d a d e > B | S u a   i d a d e > A ]

Isso basicamente será uma divisão, do tipo

P U m a   p e s s o a   d e   i d a d e   A   c h e g a   a   i d a d e   B = 1 - F B 1 - F A

Passo 2

Estamos mexendo com distribuições exponenciais, então vamos passar os termos para exponenciais

exp ⁡ - ∫ 0 B λ t   d t exp ⁡ - ∫ 0 A λ t   d t = exp ⁡ - ∫ A B λ t   d t

Aplicando a esse problema, a probabilidade de ele sobreviver até os 50 anos sem contrair câncer de pulmão é

exp ⁡ - ∫ 40 50 λ t   d t = e - 0,353

Isso nos dá o seguinte valor

0,7026

Passo 3

B - Da mesma forma, a probabilidade de ele sobreviver até os 60 anos sem contrair câncer de pulmão é

exp ⁡ - ∫ 40 60 λ t   d t = e - 1,207

Com isso, nós obtemos o seguinte resultado

0,2991

Resposta

a )   0,7026

b )   0,2991