Se X tem variância σ², então σ, a raiz quadrada positiva da variância, é chamada de desvio padrão. Se X tem média μ e desvio padrão σ, mostre que

P | X - μ | ≥ k σ ≤ 1 k 2

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Se X é uma variável aleatória contínua, então a variância de X é,

σ 2 = σ X 2 = E X - E ( X ) ²

σ 2 = E X - μ 2 = ∫ - ∞ ∞ x - μ 2 f x d x

σ 2 = ∫ - ∞ μ - k σ x - μ 2 f x d x + ∫ μ - k σ μ + k σ x - μ 2 f x d x + ∫ μ + k σ ∞ x - μ 2 f x d x

Sabe-se que:

x ≤ μ - k σ     e     x ≥ μ + k σ

Logo:

σ 2 = P | X - μ | ≥ k σ ≤ 1 k 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)