Enunciado

O tempo entre falhas de um laser em uma máquina cetogênica é distribuído exponencialmente, com uma média de 25000 horas.

  1. Qual é o tempo esperado até que a segunda falha ocorra?
  2. Qual é a probabilidade de que o tempo até a terceira falha exceda 50000 horas?

Passo 1

Letra a:

O tempo até a segunda falha é uma variável de Erlang com os parâmetros r=2 e λ . Isso é encontrado a partir da variável exponencial dada no texto:

1 λ = 25000

Vamos calcular o valor esperado da variável aleatória de Erlang:

r λ = 50000

Passo 2

Letra b:

Agora, vamos observar que o número de falhas em um dado tempo T segue uma distribuição de Poisson com parâmetros λ = 1 / 25000 . Vamos denotar essa variável aleatória como X. A função de distribuição de probabilidade de X é dada como:

f ( k ) = ( λ T ) k e - λ T k !

Nós estamos interessados na probabilidade que o número de falhas em T=50000 seja no máximo 2. Então:

P ( X ≤ 2 ) = f ( 0 ) + f ( 1 ) + f ( 2 ) = e - 2 ( 1 + 2 + 2 2 / 2 ) = 0.677

Resposta

  1. 50000
  2. 0.677
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