O tempo (em horas) necessário para a manutenção de uma máquina é uma variável aleatória exponencialmente distribuída com λ = 1 2 . Qual é

(a) a probabilidade de que um reparo dure mais que 2 horas?

(b) a probabilidade condicional de que o tempo de reparo dure pelo menos 10 horas, dado que a sua duração seja superior a 9 horas?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos denotar por T o tempo (em horas) necessário para reparar uma máquina. Dado que T ~ exp ⁡ λ = 1 2 , portanto, nós temos que

f T t = e - t 2 2 ,     t > 0 0 ,     c a s o   c o n t r á r i o  

Agora, vamos resolver as questões!

Passo 2

A - A probabilidade de o tempo de reparo exceder duas horas é igual a

P T > 2 = ∫ 2 ∞ e - t 2 2   d t

Essa integral tem o seguinte resultado

P T > 2 = 1 2 e - t 2 - 1 2 2 ∞

O termo 1 2 se elimina com o termo do denominador - 1 2 , com isso, nós temos

P T > 2 = - e - t 2 2 ∞ = - [ 0 - e - 1 ]

E temos o seguinte resultado

P T > 2 = e - 1

Passo 3

B - Probabilidade de que o tempo de reparo exceda 10 horas, uma vez que ultrapassou 9

horas é dado como P [ T > 10 | T > 9 ] . Aqui, fazemos uso da memória sem memória

propriedade da distribuição exponencial, que afirma que para t < s .

P T > s T > t = P [ T > s - t ]

Portanto, nós temos que

P T > 10 T > 9 = P [ T > 10 - 9 ]

Com isso,

P T > 10 T > 9 = P [ T > 1 ]

Voltando para aquela função, nós só vamos o intervalo da integral, portanto

P T > 10 T > 9 = ∫ 1 ∞ e - t 2 2   d t  

Essa integral nos dá o seguinte resultado

P T > 10 T > 9 = 1 2 e - t 2 - 1 2 1 ∞ = - e - t 2 1 ∞

Isso nos dá a seguinte resposta

P T > 10 T > 9 = - 0 - e - 1 2 = e - 1 2

Resposta

a )   e - 1

b )   e - 1 2