O tempo de vida, medido em horas, de uma válvula eletrônica é uma variável aleatória com função densidade de probabilidade dada por

f x = x e - x ,     x ≥ 0

Calcule o tempo de vida esperado dessa válvula.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Temos que pensar primeiro na distribuição, qual deve ser o evento que essa distribuição vai atuar, algo nos diz que será o tempo de vida (em horas) do tubo da válvula eletrônica, parece razoável, então será por essa métrica de raciocínio que vamos responder a questão.

Ok, nós queremos saber o tempo de vida dessa válvula, então vamos ter que usar uma distribuição gama, uma vez que são somente valores positivos, e o termo da exponencial é diferente da variável que acompanha essa exponencial.

A densidade de X é dada por

x e - x ;     x ≤ 0

A função gama é gama é dada por

Γ α = ∫ 0 ∞ x α - 1 e - x   d x

Passo 2

Agora, temos que analisar a expectativa da vida válvula, e colocar esse termo como a esperança da distribuição, com isso, nós temos que

E X = ∫ ∞ ∞ x f x   d x =   ∫ - ∞ 0 0   d x + ∫ 0 ∞ x 2 e - x   d x

Fazendo uma pequena manipulação, nós podemos converter essa integral em uma função gama, saca só

∫ 0 ∞ x 3 - 1 e - x   d x

Lembrou o formato da função gama? Então, essa integral é exatamente igual a

Γ 3 = 2

Portanto, a vida esperada de uma válvula eletrônica é de 2 horas.

Resposta

2   h o r a s