Os tempos de vida de pilhas são variáveis aleatórias exponenciais independentes, cada uma com parâmetro alfa. Uma lanterna precisa de 2 pilhas para funcionar. Se alguém tem uma lanterna e uma sacola com n pilhas, qual é a distribuição de tempo em que a lanterna pode operar?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Suponha que haja duas baterias em uma lanterna e estamos esperando por uma delas. que eles morram. Como seus tempos de vida são exponenciais independentes com a mesmo parâmetro λ , temos que o tempo necessário para obter a primeira bateria descarregada é o mínimo dessas duas vidas. Usando o exercício 9, temos que

T e m p o   n e c e s s á r i o   p a r a   o b t e r   a   p r i m e i r a   b a t e r i a   d e s c a r r e g a d a   ~ exp ⁡ 2 λ

Agora, substitua essa bateria pela nova do estoque. Observe que nós podemos redefinir o tempo de vida da bateria que sobreviveu - é por causa da propriedade da distribuição exponencial não ter memória. Usando o mesmo argumento anterior, temos nessa ocasião

T e m p o   n e c e s s á r i o   p a r a   o b t e r   a   s e g u n d a   b a t e r i a   d e s c a r r e g a d a   ~ exp ⁡ 2 λ

Passo 2

Agora, substituímos essa bateria por algumas das baterias restantes e continuar nossa consideração. A bateria vive até que n - 1 baterias tenham morrido, então a vida útil da bateria é a soma n - 1 de exponenciais com parâmetro 2 λ . Portanto

T   ~   G a m m a ( n - 1 ,   2 λ )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)