Tem-se apostas independentes, cada uma delas resultando em uma igual probabilidade de que o apostador ganhe ou perca 1 unidade. Suponha que W represente o ganho líquido de um apostador cuja estratégia consiste em parar de apostar logo após a sua primeira vitória. Determine

A – P W > 0

B – P W < 0

C - E [ W ]

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A - As apostas são independentes e cada uma resulta em jogadores igualmente prováveis ​​de ganhar ou perdendo um ponto. Vamos denotar W   como ganhos de um jogador que deixa de jogar imediatamente após sua primeira vitória. Em primeiro lugar, observe que o máximo que seus ganhos podem alcançar é 1, portanto, W > 0 se e somente se ele vencer imediatamente, caso contrário, após o primeiro jogo, ele termina com W = - 1

Como cada resultado é igualmente provável, temos

P W > 0 = P W = 1 = 1 2

Passo 2

B – Do outro lado, temos

P W < 0 = 1 - P W ≥ 0 - P ( W = 0 )

Substituindo os valores, nós temos que

P W < 0 = 1 - 1 4 - 1 2 = 1 4

Passo 3

C – Temos a seguinte conclusão, porque W = 0 só é alcançável se ele perder no primeiro jogo e vencer no segundo, terminando assim o jogo. Resta calcular o valor da esperança:

E W = ∑ k k P W = k = 1 2 + ∑ k = 0 ∞ - k 2 k + 2

Com isso, nós temos o seguinte resultado

E W = 1 2 - 1 4 ∙ ∑ k = 1 ∞ k 2 k

Substituindo o resultado do somatório, temos

E W = 1 2 - 1 2 = 0

Resposta

a )   P W > 0 = 1 4

b )   P W < 0 = 1 4

c )   E W = 0