1.3 Termine a prova do Teorema 1.1.4. Para quaisquer eventos A, B e C definidos em um espaço amostral S, demonstre isso.

c) ( A ∪ B ) c = A c ∩ B c   e   ( A ∩ B ) c = A c ∪ B c

Passo 1

Fala galerinha boa! Vamos realizar mais um exercício sobre teoria dos conjuntos.

Sabemos que se x pertence ao complemento da união dos conjuntos A e B, x não pertencerá ao conjunto A ou B. Isto é equivalente a x pertencer ao complemento de A e x pertencer ao complemento de B. Assim:

x ∈ A ∪ B c ⇔ x ∉ A   o u   x ∉ B ⇔ x ∈ A c   e   x ∈ B c ⇔ x ∈ A c ∩ B c

Passo 2

Sabemos que se x pertence ao complemento da interseção dos conjuntos A e B, x não pertencerá a interseção de A e B, ou seja, x não pertence a A e não pertence a B. Isto é equivalente a x pertencer ao complemento de A ou x pertencer ao complemento de B, com x pertencento a união dos complementos de A e B. Assim:

x ∈ A ∩ B c ⇔ x ∉ A ∩ B ⇔ x ∉ A   e   x ∉ B ⇔ x ∈ A c   o u   x ∈ B c ⇔ x ∈ A c ∪ B c

Sendo assim, demonstramos a Lei de DeMorgan.

Até mais, pessoal!

Resposta

x ∈ A ∪ B c ⇔ x ∉ A   o u   x ∉ B ⇔ x ∈ A c   e   x ∈ B c ⇔ x ∈ A c ∩ B c

x ∈ A ∩ B c ⇔ x ∉ A ∩ B ⇔ x ∉ A   e   x ∉ B ⇔ x ∈ A c   o u   x ∈ B c ⇔ x ∈ A c ∪ B c