Enunciado

1.3 Termine a prova do Teorema 1.1.4. Para quaisquer eventos A, B e C definidos em um espaço amostral S, demonstre isso.

b) A ∪ B ∪ C = A ∪ B ∪ C   e   A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C

Passo 1

Fala galerinha boa! Vamos realizar mais um exercício sobre teoria dos conjuntos.

Sabemos que se x pertence a união do conjunto A com a união dos conjuntos B e C, x pertencerá ao conjunto A ou a união dos conjuntos B e C. Isto é equivalente a x pertencer a união dos conjuntos A e B com a união do conjunto C. Assim:

x ∈ A ∪ B ∪ C ⇔ x ∈ A   o u   x ∈ B ∪ C ⇔ x ∈ A ∪ B   o u   x ∈ C ⇔ x ∈ ( A ∪ B ) ∪ C

Isto pode ser demonstrado similarmente em A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ C ) ∪ B .

Passo 2

Sabemos que se x pertence a interseção de A com a interseção dos conjuntos B e C, x pertencerá ao conjunto A e ao mesmo tempo ao conjunto B e ao mesmo tempo ao conjunto C. Isto é equivalente a interseção dos conjuntos A e B com a interseção do conjunto C. Assim:

x   ∈   A   ∩   ( B   ∩   C )   ⇔   x   ∈   A   e   x   ∈   B   e   x   ∈   C   ⇔   x   ∈   ( A   ∩   B )   ∩   C

Sendo assim, demonstramos a associatividade.

Até mais, pessoal!

Resposta

x ∈ A ∪ B ∪ C ⇔ x ∈ A   o u   x ∈ B ∪ C ⇔ x ∈ A ∪ B   o u   x ∈ C ⇔ x ∈ ( A ∪ B ) ∪ C

x   ∈   A   ∩   ( B   ∩   C )   ⇔   x   ∈   A   e   x   ∈   B   e   x   ∈   C   ⇔   x   ∈   ( A   ∩   B )   ∩   C