No texto, notamos que

E ∑ k = 1 ∞ X i = ∑ k = 1 ∞ E [ X i ]

onde X i , são variáveis aleatórias não negativas. Como uma integral é um limite de somas, pode-se esperar que

E ∫ 0 ∞ X t d t = ∫ 0 ∞ E [ X t ] d t

sempre que as variáveis aleatórias X(t), 0 ≤ t < ∞ , forem não negativas; e este resultado é realmente verdadeiro. Utilize-o para dar outra demonstração para o resultado que mostra que, para uma variável aleatória não negativa X,

E [ X ] = ∫ 0 ∞ P { X > t } d t

Dica: Defina, para cada t não negativo, a variável aleatória X(t) como

X t =   1   s e   t < X 0   s e   t ≥ X

Agora relacione ∫ 0 ∞ X t d t a X.

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin??

Vamos para mais um problema de Probabilidade.

Observe que X(t) é a função característica de X que cai no intervalo ( t , ∞ ) , ao analisar a igualdade

E ∫ 0 ∞ X t d t = ∫ 0 ∞ E [ X t ] d t

Temos que, no primeiro membro

E ∫ 0 ∞ X t d t =   E ∫ 0 ∞     χ ( t , ∞ ) X t d t = E ( X )

Já no segundo membro, temos

∫ 0 ∞ E X t d t = ∫ 0 ∞ E     χ ( t , ∞ ) X t d t =   ∫ 0 ∞ P ( X > t ) d t

Como as duas expressões são iguais, obtemos

E X = ∫ 0 ∞ P ( X > t ) d t

Como queríamos demonstrar.

Resposta

Veja a demonstração.