Os times A e B jogam uma série de partidas. O time vencedor é aquele que ganhar primeiro 3 partidas. Suponha que o time A vença cada partida, independentemente, com probabilidade p. Determine a probabilidade condicional de que o time A vença

(a) a série dado que ele tenha ganho a primeira partida;

(b) a primeira partida dado que ele vença a série.

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Antes de tudo, vamos destacar aqui algumas informações:

A → T i m e   A   v e n c e   a   s é r i e   d e   p a r t i d a s

F → T i m e   A   v e n c e   a   p r i m e i r a   p a r t i d a

p → P r o b a b i l i d a d e   d o   T i m e   A   v e n c e r   c a d a   j o g o   i n d e p e n d e n t e

1 - p → P r o b a b i l i d a d e   d o   T i m e   A   p e r d e r   c a d a   j o g o   i n d e p e n d e n t e

Pelo enunciado, quem vence primeiro 3 partidas, ganha a série, então estamos falando de uma série melhor de 5 jogos.

Para determinarmos a probabilidade do time A ganhar a série, vamos usar:

P A F = P A ∩ F P F

E para o time A ser campeão, temos 3 possibilidades:

1 ª : V e n c e r × V e n c e r × V e n c e r = p ³

2 ª : V e n c e r × P e r d e r × V e n c e r × V e n c e r = 2 p ³ ( 1 - p )

3 ª : V e n c e r × P e r d e r × P e r d e r × V e n c e r × V e n c e r = 3 p ³ ( 1 - p ) ²

Obs: Galera, a ordem que acontece as possibilidades acima não importa ok? Isso não altera o resultado final. Para essa questão, o importante é que a primeira ele vença pois é o que foi pedido no enunciado, fora isso, a ordem não importa.

Jogando tudo isso na fórmula principal:

P A F = p 3 + 2 p 3 1 - p + 3 p ³ ( 1 - p ) ² p

P A F = p 2 + 2 p 2 1 - p + 3 p ² ( 1 - p ) ²

Resposta

P A F = p 2 + 2 p 2 1 - p + 3 p ² ( 1 - p ) ²