Um total de n bolas numeradas de 1 a n é colocado em n urnas (também numeradas de 1 a n) de forma tal que a bola i tenha igual probabilidade de ir para qualquer urna 1,2   , . . . , i . Determine:

a) o número esperado de urnas vazias;

b) a probabilidade de que nenhuma das urnas esteja vazia.

Passo 1

Fala galeraaa!

Vamos que vamos!

No item (a):

Deixe a variável aleatória X representar urnas vazias.

X i = 1                           s e   a   u r n a     e s t i v e r   v a z i o   X i = 0                                                             c a s o   c o n t r á r i o  

Vamos encontrar o número esperado de urnas que estão vazias.

Para que a urna i t h permaneça vazia, ela deve permanecer vazia no turno i t h . No primeiro turno i - 1 , estará vazio. Probabilidade de que i t h bola não vá para i t h urn é ( 1 - 1 i .

A probabilidade de a bola i + 1 s t não cair na urna i   é   1 - 1 i + 1 .

E X i = 1 - 1 i ⋅ 1 - 1 i + 1 ⋅   1 - 1 i + 2 ⋅ … ⋅ 1 - 1 n

= i - 1 i ⋅ i + 1 - 1 i + 1 ⋅ … ⋅ n - 1 n

= i - 1 i ⋅ i i + 1 ⋅ i + 1 i   + 2 ⋅ … ⋅ n - 1 n

= i - 1 n

Portanto, o número esperado de urnas vazias é de:

E ( X )   = ∑ i = 1 n E ( X i ) = ∑ i = 1 n i - 1 n

= 1 n ∑ i = 1 n i - 1 = 1 n ∑ j = 0 n - 1 j

= 1 n n n - 1 2 = n n - 1 2 n

= n - 1 2

Passo 2

No item (b):

Vamos calcular a probabilidade de que nenhuma das urnas esteja vazia.

Para que as urnas não fiquem vazias, a bola n t h deve ser solta na urna n t h . A probabilidade é 1 n .

Da mesma forma, n - 1 s t bola deve ir para n - 1 s t urn, a probabilidade é 1 n .

Portanto, a probabilidade de que nenhuma das urnas esteja vazia é de:

P = 1 n ⋅ 1 n - 1 ⋅ 1 n - 2 ⋅ ⋯ ⋅ 1 1 = 1 n !

Resposta

a )   = n - 1 2

b ) 1 n !