Um total de 2n pessoas, formado por n casais, é dividido em n pares. Numere as mulheres arbitrariamente e suponha que represente o evento em que a mulher i forma um par com seu marido.
(a) Determine .
(b) Para , determine .
(c) Obtenha uma aproximação para a probabilidade de que nenhuma mulher forme um par com seu marido se é grande.
(d) Se cada par deve ser formado por um homem e uma mulher, a que o problema se reduz?
Passo 1
Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos começar pela letra (a).
Antes, vamos destacar algumas informações:
Portanto, a probabilidade de que a mulher forme um pai com o marido é:
Passo 2
Show, agora vamos para a letra (b).
Aqui, o objetivo é encontrar a probabilidade de que a mulher esteja formando par com marido, dado que a j mulher já está formando par com o marido. Porque é provável que seja emparelhado com qualquer uma das pessoas.
Com isso, para acharmos a probabilidade vamos usar:
Passo 3
Beleza, agora vamos para a letra (c). Quando é grande, torna-se uma distribuição de Poisson com a média λ igual à probabilidade de que nenhum par seja feito.
Portanto, o número de esposas formando par com seus maridos será aproximadamente com a média:
Portanto, a probabilidade de que nenhuma esposa forme um par é:
Passo 4
Show, agora vamos para a letra (d).
Já que os pares formados devem consistir em um homem e uma mulher, então este experimento se reduz ao problema de correspondência.