Um total de 2n pessoas, formado por n casais, é dividido em n pares. Numere as mulheres arbitrariamente e suponha que W i   represente o evento em que a mulher i forma um par com seu marido.

(a) Determine P W i .

(b) Para i ≠ j , determine P W i | W j .

(c) Obtenha uma aproximação para a probabilidade de que nenhuma mulher forme um par com seu marido se n é grande.

(d) Se cada par deve ser formado por um homem e uma mulher, a que o problema se reduz?

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos começar pela letra (a).

Antes, vamos destacar algumas informações:

2 n - 1 → N ú m e r o   d e   m a n e i r a s   q u e   a   m u l h e r   p o d e   f o r m a r   u m   p a r

Portanto, a probabilidade de que a mulher i forme um pai com o marido é:

  P W i = 1 2 n - 1

Passo 2

Show, agora vamos para a letra (b).

Aqui, o objetivo é encontrar a probabilidade de que a i mulher esteja formando par com marido, dado que a j mulher já está formando par com o marido. Porque é provável que seja emparelhado com qualquer uma das ( 2 n - 3 ) pessoas.

Com isso, para acharmos a probabilidade vamos usar:

P W i | W j = 1 2 n - 3

Passo 3

Beleza, agora vamos para a letra (c). Quando n é grande, torna-se uma distribuição de Poisson com a média λ igual à probabilidade de que nenhum par seja feito.

Portanto, o número de esposas formando par com seus maridos será aproximadamente com a média:

λ = ∑ i = 1 n P W i = n 2 n - 1 ∽ 1 2

Portanto, a probabilidade de que nenhuma esposa forme um par é:

P W i = 0 = e - λ λ 0 0 !

P W i = 0 = e - 1 2 1 2 0 1 = e - 1 2

Passo 4

Show, agora vamos para a letra (d).

Já que os pares formados devem consistir em um homem e uma mulher, então este experimento se reduz ao problema de correspondência.

Resposta

a )   P W i = 1 2 n - 1

b )   P W i | W j = 1 2 n - 3

c )   P W i = 0 = e - 1 2

d )   S e   r e d u z   a o   p r o b l e m a   d e   c o r r e s p o n d ê n c i a