Transporte público

Cinco por cento dos trabalhadores dos Estados Unidos usam transporte público para chegar ao trabalho. Uma autoridade de trânsito oferece taxas de desconto para empresas que tenham pelo menos 30 funcionários que utilizam transporte público para chegar ao trabalho. Calcule a probabilidade de que cada empresa a seguir obterá o desconto. (Fonte: U.S. Census Bureau.)

(a) A empresa A tem 250 funcionários.

(b) A empresa B tem 500 funcionários.

(c) A empresa C tem 1.000 funcionários.

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

(a) A partir do enunciado do problema, temos que:

n = 2 5 0

p = 5 % = 0 , 0 5

q = 1 - p = 0 , 9 5

Vamos analisar se esses dados satisfazem todos critérios para usarmos a aproximação de uma distribuição normal para uma aproximação binomial, onde n p ≥ 5   e   n q ≥ 5 .

Assim, temos:

n p = 2 5 0.0 , 0 5 = 1 2 , 5 ≥ 5

n q = 2 5 0.0 , 9 5 = 237,5 ≥ 5

Como os critérios foram satisfeitos, podemos então, usar a distribuição normal.

Determinando a média e o desvio padrão, temos:

μ = n p = 1 2,5

σ =   n p q = 2 5 0.0 , 0 5.0 , 9 5 = 11 , 8 7 = 3,44

Usando a correção de continuidade, a probabilidade discreta P ( x > 3 0 ) pode ser escrita como a probabilidade contínua P ( x > 29 , 5 ) . Calculando o valor escore-z, temos:

z = x - μ σ = 29 , 5 - 1 2,5 3 , 44 = 4,94  

Portanto,

P x > 30 =   P z > 4 , 94 = 1 - P ( z < 4 , 94 )

Da tabela de distribuição normal, temos: P z < 4 , 94 = 1 , assim:

P x > 3 0 = 1 - 1 = 0   = 0 %

Passo 2

(b) A partir do enunciado do problema, temos que:

n = 5 0 0

p = 5 % = 0,05

q = 1 - p = 0,95

Vamos analisar se esses dados satisfazem todos critérios para usarmos a aproximação de uma distribuição normal para uma aproximação binomial, onde n p ≥ 5   e   n q ≥ 5 .

Assim, temos:

n p = 50 0 . 0,05 = 25 ≥ 5

n q = 50 0 . 0,95 = 4 75 ≥ 5

Como os critérios foram satisfeitos, podemos então, usar a distribuição normal.

Determinando a média e o desvio padrão, temos:

μ = n p = 25

σ =   n p q = 5 00.0 , 0 5.0,9 5 = 23 , 7 5 = 4 , 87

Usando a correção de continuidade, a probabilidade discreta P ( x > 30 ) pode ser escrita como a probabilidade contínua P ( x > 29,5 ) . Calculando o valor escore-z, temos:

z = x - μ σ = 29,5 - 25 4 , 87 = 0 , 9 2  

Portanto,

P x > 30 =   P z > 0 , 9 2 = 1 - P ( z < 0 , 9 2 )

Da tabela de distribuição normal, temos: P z < 0 , 9 2 = 0,8212   , assim:

P x > 30 = 1 - 0,8212   = 0 , 1788   = 17,88 %

Passo 3

(c) A partir do enunciado do problema, temos que:

n = 10 00

p = 5 % = 0,05

q = 1 - p = 0,95

Vamos analisar se esses dados satisfazem todos critérios para usarmos a aproximação de uma distribuição normal para uma aproximação binomial, onde n p ≥ 5   e   n q ≥ 5 .

Assim, temos:

n p = 10 00.0,05 = 50 ≥ 5

n q = 10 00.0,95 = 950 ≥ 5

Como os critérios foram satisfeitos, podemos então, usar a distribuição normal.

Determinando a média e o desvio padrão, temos:

μ = n p = 5 0

σ =   n p q = 10 00.0,05.0,95 = 4 7 , 5 = 6 , 8 9

Usando a correção de continuidade, a probabilidade discreta P ( x > 30 ) pode ser escrita como a probabilidade contínua P ( x > 29,5 ) . Calculando o valor escore-z, temos:

z = x - μ σ = 29,5 - 5 0 6 , 8 9 = - 2 , 9 7  

Portanto,

P x > 30 =   P z > - 2 , 9 7 = 1 - P ( z < - 2 , 9 7 )

Da tabela de distribuição normal, temos: P z < - 2 , 9 7 = 0,0015   , assim:

P x > 30 = 1 - 0,0015   = 0 , 9985   = 99 , 8 5 %

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

a) 0 %.

b) 17,88%.

c) 99,49%.