Três cartas são selecionadas aleatoriamente de um baralho comum de 52 cartas. Suponha que X represente o número de ases selecionados.

a) Determine E [ X ] o ás de espadas é escolhido.

b) Determine E [ X ∣ p e l o   m e n o s   u m   á s   s e j a   e s c o l h i d o ] .

Passo 1

Fala galeraaa!

Vamos que vamos!

Defina X i como a variável aleatória indicadora que marca se $i$ th Ace foi escolhido ou não.

Nós temos que:

X = ∑ i = 1 4 X i

No item (a), temos:

Somos obrigados a encontrar,

E X X 1 = 1 = E ∑ i = 1 4 X i   X 1 = 1 = ∑ i = 1 4 E X i X 1 = 1

= 1 + ∑ i = 2 4 P ( X i = 1 ∣   X 1 = 1 ) = 1 + 3   P ( X 2 = 1 ∣ X 1 = 1

= 1 + 3 ⋅ 2 51 = 19 17

No item (b), temos:

Somos obrigados a calcular o seguinte:

E X X ≥ 1 = E ∑ i = 1 4 X i X ≥ 1 = ∑ i = 1 4 E ( X i ∣ X ≥ 1 )  

= 4   P ( X 1 = 1 ∣ X ≥ 1 )

Usando a definição de probabilidade condicional, temos que:

P ( X 1 = 1 ∣ X ≥ 1 ) = P X 1 = 1 X ≥ 1 P X ≥ 1 = P X 1 = 1 1 - P X = 0 = 3 52 1 - 48 ⋅ 47 ⋅ 46 52 ⋅ 51 ⋅ 50 = 1275 4804

que implica em:

E X X ≥ 1 = 1275 1201 ≈   1,0616

Resposta

a ) 19 17 .  

b ) ≈ 1 ,   0616 .

.