Se X é uniformemente distribuída ao longo do intervalo (0,1), determine a função densidade de Y = e x .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Dado que X é uniformemente distribuída sobre ( 0,1 ) , ou seja, X ~ U ( 0,1 ) . Para encontrar a função de densidade Y = e X , nós primeiro encontramos a função de distribuição de Y .

f Y y = P [ Y ≤ y ]

Substituindo o termo de Y , nós temos que

F Y y = P [ e X ≤ y ]

Fazendo uma manipulação em torno da exponencial, nós temos

F Y y = P X ≤ ln ⁡ y

Passo 2

Agora, nós temos que substituir a probabilidade pela integral

F Y y = ∫ 0 ln ⁡ y d x

O resultado dessa integral é o intervalo superior da integral

F Y y = ln ⁡ y

Portanto, a função de densidade é dada como a derivada da função de distribuição

f Y y = d d y F Y ( y )

Substituindo a função de distribuição, nós temos

f Y y = d d y ( ln ⁡ ( y ) ) = 1 y ,     1 ≤ y ≤ e

Portanto,

1 y ,     1 ≤ y ≤ e 0 ,     c a s o   c o n t r á r i o  

Resposta

1 y ,     1 ≤ y ≤ e 0 ,     c a s o   c o n t r á r i o