Uma urna contém 4 bolas brancas e 4 bolas pretas. Escolhemos aleatoriamente 4 bolas. Se 2 delas são brancas e 2 são pretas, paramos. Do contrário, colocamos de volta as bolas na urna e novamente selecionamos 4 bolas de forma aleatória. Isso continua até que 2 das quatro bolas sejam brancas. Qual é a probabilidade de que façamos exatamente n seleções?

Passo 1

Fala galeraaa!

Vamos que vamos! ☺

Observe que na tentativa única, temos 8   4   possibilidades de escolha do nosso conjunto de bolas. Se escolhemos duas bolas brancas e duas pretas, a probabilidade de fazer isso é simplesmente

p = 4   2   ⋅ 4   2   8   4  

Esta é a distribuição hipergeométrica bem conhecida. Agora, defina a variável aleatória $X$ que marca o número de tentativas que foram necessárias para obter a combinação certa (duas bolas brancas e duas pretas). Pela natureza do problema, observe que X tem distribuição geométrica com parâmetro p que foi calculado acima.

Portanto:

P X = n = 1 - p n - 1 ⋅   p

Resposta

P X = n = 1 - p n - 1 ⋅   p