Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 7.Exercícios Teóricos - Ex. 37

Uma urna contém a bolas brancas e b bolas pretas. Quando retirada, uma bola é devolvida para a urna se for branca; se for preta, ela é substituída por uma bola branca de outra urna. Suponha que M n represente o número esperado de bolas brancas na urna após a repetição dessa operação por n vezes.

A – Deduza a operação recursiva

M n + 1 = 1 - 1 a + b M n + 1

B – Use a letra (a) para provar que

M n = a + b - b 1 - 1 a + b n

C – Qual é a probabilidade de que a n + 1 - é s i m a bola retirada seja branca?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos definir variáveis ​​aleatórias X n que contam quantas bolas brancas estão na urna

depois dos sorteios. Temos a seguinte notação E X n = M n .

A - Vamos encontrar a esperança condicional de X n + 1   dado X n . Considere o que foi

sorteado no n + 1 sorteio. Se tivermos sorteado a bola branca (probabilidade X n ( a + b ) ), o

o valor esperado de X n + 1 é X n uma vez que devolvemos a bola branca. Se tiver-mos

sorteada a bola preta (probabilidade 1 - X n a + b ), nós a substituímos pela bola branca, então

o valor esperado de X n + 1 é X n + 1 . Portanto

E X n + 1 X n = X n a + b ∙ X n + 1 - X n a + b ∙ X n + 1

Com isso, nós temos que

E X n + 1 X n = 1 - 1 a + b X n

Aplicando a esperança a ambos os lados e usando a relação

E E X n + 1 X n = E X n + 1 = M n + 1

Nós temos

M n + 1 = 1 - 1 a + b M n

Passo 2

B - Vamos provar por indução. Para isso, temos que

M 0 = a + b - b = a

O que é verdade, pois temos a bolas brancas no início. Suponha que o

expressão é verdadeira para M n . Considere M n + 1 . Usando a relação da parte (a), temos

nesse caso

M n + 1 = 1 - 1 a + b M n

Que vai ser igual

M n = 1 - 1 a + b a + b - b 1 - 1 a + b n = a + b - b 1 - 1 a + b n + 1

Então a expressão reivindicada vale para cada n ≥ 0 .

Passo 3

C - Defina a variável aleatória indicadora I n + 1   que é igual a um se e somente se a n + 1 bola sorteada é branca. Vamos encontrar a expectativa condicional de I n + 1 dado X n . Nós temos que

E I n + 1 X n = X n a + b

Se sabemos que existem   X n bolas brancas, sabemos que a probabilidade de desenhar bola branca é X n a + b . Agora, aplicando a esperança para ambos os lados, temos que

P I n + 1 = 1 = E I n + 1 = 1 a + b M n

Com isso, nós obtemos o seguinte resultado

P I n + 1 = 1 = 1 a + b   a + b - b 1 - 1 a + b n

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)