Uma urna contém n bolas brancas e m bolas pretas que são retiradas uma de cada vez de forma aleatória. Determine o número esperado de vezes em que uma bola branca é imediatamente seguida por uma bola preta.

Passo 1

Primeiro vamos imaginar que X é quando sai uma bola branca seguida de uma preta. Vamos imaginar também que E j ,   1 ≤ j   ≤ n + m - 1 é o evento.

Sendo assim

E j = j   b o l a   é   b r a n c a , (   j + 1 )   a   b o l a   é   p r e t a

Passo 2

Agora precisamos calcular a probabilidade do evento acontecer ou seja P ( E j )

P   E j = P j P j + 1   j )

n n + m m n + m - 1

Se definirmos variáveis I j seguindo

I j = 1 ,     E j   a c o n t e c e 0 ,   E j   n ã o   a c o n t e c e

Sendo assim

X =   ∑ j = 1 n + m - 1 I j

Passo 3

Por fim, para calcularmos o número esperado de vezes em que sai uma bola branca seguida de uma preta, é só calcularmos a esperança de X

E X = E ∑ j = 1 n + m - 1 I j =   ∑ j = 1 n + m - 1 E ( I j ) =   ∑ j = 1 n + m - 1 P ( E j )  

= ∑ j = 1 n + m - 1 n n + m m n + m - 1

= ( n + m - 1 ) n n + m m n + m - 1

Simplificando essa conta toda, nós temos

=   n m n + m

Resposta

  n m n + m