Uma urna contém n bolas numeradas de 1 a n. Se você retira m bolas aleatoriamente e em sequência, cada vez recolocando a bola selecionada de volta na urna, determine P X = k ,   k = 1 , … 1 m , onde X é o número máximo dos m números escolhidos.

Dica: Primeiro obtenha P X ≤ k .

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Aqui, vamos dizer que X i ser o número para i t h o sorteio das bolas, onde i=1, ..., m. Então:

P X ≤ k = P ( x 1 ≤ k , x 2 ≤ k , … , x m ≤ k )

P X ≤ k = P x 1 ≤ k P x 2 ≤ k … P ( x m ≤ k )

P X ≤ k = k n k n … k n m = k n m

Com isso:

P X = k = P X ≤ k - P ( X ≤ k - 1 )

P X = k = k n m - k - 1 n m

Resposta

P X = k = k n m - k - 1 n m