Uma urna contém 2n bolas, das quais 2 recebem o número 1,2 recebem o número 2,..., e 2 recebem o número n. Bolas são retiradas duas a duas de cada vez sem serem devolvidas. Seja T primeira seleção na qual as bolas retiradas têm o mesmo número (e faça com que ela seja igual a infinito se nenhum dos pares sacados tiver o mesmo número). Queremos mostrar que, para O
Para verificarmos a fórmula anterior, suponha que represente o número de pares retirados nas primeiras k seleções, k = 1, ..., n.
(a) Mostre que, quando n é grande, pode ser considerado o número de sucessos em k tentativas (aproximadamente) independentes.
(b) Obtenha uma aproximação para quando n é grande.
(c) Escreva o evento em termos do valor de uma das variáveis .
(d) Verifique a probabilidade limite dada para
Passo 1
Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.
Aqui o número de bolas na urna são “2n” numerados com 1 a n (cada número duas vezes). Isso significa que há n número de pares de bolas. Em cada sorteio são retiradas duas bolas de cada vez da urna sem reposição.
Aqui, vamos dizer que é o número de pares corretos retirados na primeira k seleção, aonde k= 1, 2, ..., n.
Quando a gente diz que n é grande, vamos dizer que , então .
Então a probabilidade de ter sucesso na primeira tentativa vai ser:
Beleza, agora a probabilidade de ter sucesso na segunda tentativa:
Logo, quando , .
Passo 2
Vamos para a letra (b). Aqui existem n pares e denotam o número de pares corretos em k trilhas.
Esse número de sucesso segue uma distribuição aproximadamente binominal, então para calcularmos o número médio de sucesso em k seleções:
O número de pares com sucesso segue o parâmetro acima, portanto:
Passo 3
Agora vamos para a letra (c):
Dado, denotam a primeira seleção em que as bolas retiradas têm o mesmo número.
Portanto, o evento significa que na primeira seleção as bolas retiradas têm o mesmo número. Ou seja, o número de pares corretos é zero.
Passo 4
Agora vamos para a letra (d):
A probabilidade limite dada para vai ser:
Calculando: