Uma urna contém 2n bolas, das quais 2 recebem o número 1,2 recebem o número 2,..., e 2 recebem o número n. Bolas são retiradas duas a duas de cada vez sem serem devolvidas. Seja T primeira seleção na qual as bolas retiradas têm o mesmo número (e faça com que ela seja igual a infinito se nenhum dos pares sacados tiver o mesmo número). Queremos mostrar que, para O

lim n ⁡ P T > α n = e - α / 2

Para verificarmos a fórmula anterior, suponha que M k represente o número de pares retirados nas primeiras k seleções, k = 1, ..., n.

(a) Mostre que, quando n é grande, M k pode ser considerado o número de sucessos em k tentativas (aproximadamente) independentes.

(b) Obtenha uma aproximação para P M k = 0 quando n é grande.

(c) Escreva o evento T > α n em termos do valor de uma das variáveis M k .

(d) Verifique a probabilidade limite dada para P T > α n

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Aqui o número de bolas na urna são “2n” numerados com 1 a n (cada número duas vezes). Isso significa que há n número de pares de bolas. Em cada sorteio são retiradas duas bolas de cada vez da urna sem reposição.

Aqui, vamos dizer que M k é o número de pares corretos retirados na primeira k seleção, aonde k= 1, 2, ..., n.

Quando a gente diz que n é grande, vamos dizer que n → ∞ , então 2 n → ∞ .

Então a probabilidade de ter sucesso na primeira tentativa vai ser:

2 2 n 2 n 2 = n 2 ! 2 n - 2 ! 2 n 2 n - 1 2 n - 2 ! = 1 2 n - 1

Beleza, agora a probabilidade de ter sucesso na segunda tentativa:

2 2 ( n - 1 ) 2 n - 2 2 = ( n - 1 ) 2 ! 2 n - 4 ! 2 n - 2 2 n - 3 2 n - 4 ! = 1 2 n - 3

Logo, quando n → ∞ , 1 2 n - 3 ≈ 1 2 n - 3 .

Passo 2

Vamos para a letra (b). Aqui existem n pares e M k denotam o número de pares corretos em k trilhas.

Esse número de sucesso segue uma distribuição aproximadamente binominal, então para calcularmos o número médio de sucesso em k seleções:

1 2 n - 1 k = k 2 n - 1

O número de pares com sucesso segue o parâmetro acima, portanto:

P M k = 0 = e - - k 2 n - 1 k 2 n - 1 0 0 ! = e - - k 2 n - 1

Passo 3

Agora vamos para a letra (c):

Dado, 0 < α < 1   e   T denotam a primeira seleção em que as bolas retiradas têm o mesmo número.

Portanto, o evento T > α n significa que na primeira seleção as bolas retiradas têm o mesmo número. Ou seja, o número de pares corretos é zero.

P T > α n = P M a n = 0

Passo 4

Agora vamos para a letra (d):

A probabilidade limite dada para P T > α n vai ser:

lim n → ∞ ⁡ P T > α n = e - α / 2

lim n → ∞ ⁡ P T > α n = lim n → ∞ ⁡ P M a n = 0 = lim n → ∞ ⁡ e - a n 2 n - 1

Calculando:

lim n → ∞ ⁡ e - a n 2 n - 1 = e - a 2

Resposta

a )   1 2 n - 3

b )   e - - k 2 n - 1

c ) P T > α n = P M a n = 0

d )   e - a 2