Uma urna contém 30 bolas, das quais 10 são vermelhas e 8 são azuis. Doze bolas são sorteadas dessa urna. Suponha que X represente o número de bolas vermelhas, e Y, o número de bolas azuis sorteadas.
Determine Cov(X, Y)
(a) definindo variáveis indicadoras (isto é, de Bernoulli) apropriadas tais que
(b) condicionando (em X ou Y) para determinar E[XY].
Passo 1
Salve galera estudiosa, tudo certin??
Vamos para mais um problema de Probabilidade.

(a) Usando a definição e as propriedades de Covariância, temos que:
Temos que:
E ainda que:
Logo, sabe-se que:
Com isso, concluímos que:
Passo 2
(b) Analisando a natureza do problema, temos que X se trata de uma distribuição hipergeométrica com os seguintes parâmetros: N = 30, = 10 e n = 12. De modo análogo, Y também é hipergeométrica, agora com: N = 30, = 8 e n = 12.
Pela definição de uma distribuição hipergeométrica, temos que:
Usando a lei da esperança total, temos que:
Se foram sorteadas X bolas vermelhas, sobram 20 bolas que não são vermelhas e ainda 12 – X bolas vermelhas dentro da urna. Logo, Y passa a ser agora uma série hipergeométrica onde: N = 20, = 8 e n = 12 - X. Daí:
Portanto:
Onde sabemos que, e podemos deduzir que:
Assim,
Agora, podemos definir que:
Assim, teremos que a covariância será dada por:
Resposta
(a)
(b)