Uma urna contém 30 bolas, das quais 10 são vermelhas e 8 são azuis. Doze bolas são sorteadas dessa urna. Suponha que X represente o número de bolas vermelhas, e Y, o número de bolas azuis sorteadas.

Determine Cov(X, Y)

(a) definindo variáveis indicadoras (isto é, de Bernoulli) apropriadas X i , Y j tais que

X =   ∑ i = 1 10 X i   e   Y =   ∑ j = 1 8 Y j

(b) condicionando (em X ou Y) para determinar E[XY].

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin??

Vamos para mais um problema de Probabilidade.

(a) Usando a definição e as propriedades de Covariância, temos que:

C o v X , Y = C o v ∑ i = 1 10 X i , ∑ j = 1 8 Y j =   ∑ i ∑ j C o v X i , Y j = 10.8 . C o v ( X 1 , Y 1 )    

Temos que:

E X 1 , Y 1 = P X 1 = 1 , Y 1 = 1 =   12 30 . 11 29 =   22 145

E ainda que:

E X 1 ) = E ( Y 1 = 12 30  

Logo, sabe-se que:

C o v X 1 , Y 1 = E X 1 , Y 1 - E X 1 ) E ( Y 1 =   22 145 -   12 30 . 12 30 =   - 12 1450  

Com isso, concluímos que:

C o v X , Y = 10.8 . - 12 1450 = - 96 145

Passo 2

(b) Analisando a natureza do problema, temos que X se trata de uma distribuição hipergeométrica com os seguintes parâmetros: N = 30, K X = 10 e n = 12. De modo análogo, Y também é hipergeométrica, agora com: N = 30, K Y = 8 e n = 12.

Pela definição de uma distribuição hipergeométrica, temos que:

E X =   n . K X N =   12 . 10 30 = 4

E Y =   n . K Y N =   12 . 8 30 = 3,2

Usando a lei da esperança total, temos que:

E X Y = E ( E ( X Y X ) ) = E ( X E ( Y X ) )

Se foram sorteadas X bolas vermelhas, sobram 20 bolas que não são vermelhas e ainda 12 – X bolas vermelhas dentro da urna. Logo, Y passa a ser agora uma série hipergeométrica onde: N = 20, K Y = 8 e n = 12 - X. Daí:

E ( Y X ) ) = n . K Y N = ( 12 - X ) . 8 30 = 4,8 - 0,4 X

Portanto:

E X Y = E X 4,8 - 0,4 X = 4,8 E X - 0,4 E ( X 2 )

Onde sabemos que, E X =   4 e podemos deduzir que:

V a r X =   n . K X N . ( N - K X ) N . N - n N - 1 =   48 29

Assim,

E X 2 = V a r X + E X 2 = 48 29 + 4 2 =   512 29  

Agora, podemos definir que:

E X Y = 4,8 E X - 0,4 E X 2 = 4,8.4 - 0,4 . 512 29 = 352 29

Assim, teremos que a covariância será dada por:

C o v X , Y = E X Y - E X E Y = 3 52 29 - 4.3,2 =   - 96 145

Resposta

(a) C o v X , Y = - 96 145

(b) C o v X , Y = - 96 145