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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 7.Exercícios Teóricos - Ex. 31

Uma urna contém inicialmente b bolas pretas e w bolas brancas. Em cada rodada, adicionamos r bolas pretas e depois retiramos, aleatoriamente, r bolas do conjunto de b + w + r bolas no interior da urna. Mostre que

E N ú m e r o   d e   b o l a s   b r a n c a s   a p ó s   a   i - é s i m a   r o d a d a = b + w b + w + r t w

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Defina a variável aleatória N t como o contador de bolas brancas após o estágio t . Vamos calcular a distribuição de N t dado N t - 1 . Sabemos que existem N t - 1 bolas brancas na urna e sorteamos (sem reposição) r bolas. Assim, o número de bolas brancas desenhadas no estágio t dado N t - 1   tem distribuição hipergeométrica com a número total de elementos na urna b + w + r , temos elementos N t - 1 em urna e desenhamos r elementos. Portanto, acabamos com N t - 1 bolas brancas desenhadas após o estágio. Usando a fórmula para a média da distribuição hipergeométrica, temos que

E N t N t - 1 = b + w b + w + r   ∙ N t - 1

Usando a relação E E N t N t - 1 = E ( N t ) , para obter o seguinte resultado

E N t = b + w b + w + r E N t - 1

Passo 2

Usando a indução matemática, nós temos que

E N t = b + w b + w + r t E ( N 0 )

Agora, observe que E ( N 0 ) é o número de bolas brancas no início, que é igual a w. Portanto,

E N t = b + w b + w + r t w

Encontramos o número esperado de bolas brancas após o estágio se nos for dado o número de bolas brancas após a etapa e usando indução matemática para obter a resposta, conseguimos provar o que nos foi pedido 😊.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)