Em uma urna contendo n bolas, a i-ésima bola tem peso W ( i ) ,   i   =   1   , . . . ,   n . As bolas são removidas sem substituição, uma de cada vez, de acordo com a regra a seguir: em cada seleção, a probabilidade de que uma bola seja escolhida é igual ao seu peso dividido pela soma dos demais pesos na urna. Por exemplo, se em algum instante i 1 , ,   . . . ,   i , for o conjunto de bolas remanescentes na urna, então a próxima seleção será i, com probabilidade W ( i j ) / ∑ k = 1 r W ( i k ) ,   j   =   1 ,   . . . ,   r . Calcule o número esperâdo de bolas retiradas antes da bola 1.

Passo 1

Fala galeraaa!

Vamos que vamos!

Defina as variáveis ​​aleatórias indicadoras I j ,   j = 2 ,   … ,   n que marcam se escolhemos a bola número j da jarra antes de escolhermos a bola número 1 . O peso da bola j   é   W ( j ) e o peso da bola 1 é W ( 1 ) . Observe que a probabilidade de termos escolhido a bola j antes da bola número 1 é exatamente.

P ( I j = 1 ) = W j W j + W 1

Assim, o número esperado de bolas que foram retiradas antes da bola número 1 é de:

∑ j = 2 n P ( I j = 1 ) = ∑ j = 2 n W j W j + W 1  

Resposta

O número médio necessário é ∑ j = 2 n W j W j + W 1 .

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