Uma urna tem m bolas pretas. Em cada rodada, uma bola preta é retirada e uma nova bola é colocada em seu lugar. A bola colocada na urna tem probabilidade p de ser preta e 1 - p de ser branca. Determine o número de rodadas necessárias até que não existam mais bolas pretas na urna.

Passo 1

Fala galeraaa!

Vamos que vamos!

Em cada estágio uma bola preta é removida e uma nova bola, preto com probabilidade p e branco com probabilidade 1 - p são colocados em seu lugar.

Consideremos a variável X indicando o número de estágios necessários até que não haja mais bolas pretas na urna.

X - X 1 + X 2 + … + X m .

Deixe X 1 definir como o número de estágios até que a primeira bola preta seja substituída por uma bola branca, X 2 define como o número de estágios adicionais até que a segunda bola preta seja substituída por uma bola branca e esta contínua:

X 3 ,   X 4 ,   X 5 ,   … ,   X m

Passo 2

E X - E X 1 + X 2 + … + X m

= E X 1 + E X 2 + … + E [ X m ]

Então, E X 1 - 1 1 - p   p a r a   i - 1,2 , 3 ,   … ,   m .

Portanto:

E X - E X 1 + E X 2 + … + E X m

= 1 1 - p + 1 1 - p + … + 1 1 - p

= m 1 1 - p

- m 1 - p

O   n ú m e r o   e s p e r a d o   é ,  

E X = m 1 - p

Resposta

E X = m 1 - p .