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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 7.Exercícios Teóricos - Ex. 40

Use a fórmula da variância condicional para determinar a variância de uma variável aleatória geométrica X com parâmetro p .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Suponha uma sequência de variáveis ​​aleatórias independentes de Bernoulli X n n ≥ 1   com a

parâmetro de sucesso p . Vamos marcar o índice X da primeira variável aleatória que tem

rendeu um sucesso. Sabemos que Z tem distribuição geométrica com parâmetro p . Usando a fórmula para variância condicional, podemos condicionar a variável aleatória X 1 , nós temos que:

V a r X = E V a r X X 1 + V a r E X X 1

Observe que

E V a r X X 1 = E E X 2 X 1 - E X X 1 2  

Desenvolvendo o termo, nós temos

E V a r X X 1 = P X 1 = 0 ∙ E X 2 X 1 = 0 - E X X 1 = 0 2 + P X 1 = 1 E X 2 X 1 = 1 - E X X 1 = 1 2

Com isso, nós garantimos o seguinte resultado

E V a r X X 1 = 1 - p E X 2 - E X 2 + 0  

E temos que

E V a r X X 1 = 1 - p V a r ( X )

Passo 2

Tendo este termo o seguinte resultado

E X X 1 = 1 ∙ I X 1 = 1 + 1 + 1 p I ( X 1 = 0 )

Então, aplicando o conceito de variância, nós observamos que

V a r E X X 1 = p 1 - p + 1 + 1 p 2 ´ 1 - p - 2 p 1 - p 1 + 1 p

Ufa, muita coisa, mas podemos colocar essas expressões para a obter a seguinte relação

V a r X = 1 - p V a r X + 1 p 2 p 1 - p

que rende

V a r X = 1 - p p 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)