Use a identidade do Exercício Teórico 5.5 para deduzir E [ X 2 ] quando X é uma variável aleatória exponencial com parâmetro λ .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Do exercício teórico, nós temos a seguinte informação

E X 2 = ∫ 0 ∞ 2 x P X > x   d x

Agora, nós vamos considerar que a V.A X é aproximadamente a exponencial de λ , portanto, nós temos

P X > x = 1 - P ( X ≤ x )

Então, vamos substituir pela parte exponencial

P X > x = 1 - 1 - e - λ x = e - λ x

Passando pela integral

∫ 0 ∞ 2 x P X > x   d x =   ∫ 0 ∞ 2 x e - λ x   d x = 2 ∫ 0   ∞ x e - λ x   d x

Nosso papel por agora, é resolver essa integral!

Passo 2

Então, vamos lá, para esta integral, teremos que utilizar a integração por partes. Os termos são os seguintes

u = x ,     d u = d x

v =   - e - λ x λ ,     d v = e - λ x  

Substituindo na integral, nós obtemos a seguinte nova integral

2 ∫ 0   ∞ x e - λ x   d x =   - 2 x   e - λ x λ 0 ∞ + 2 λ ∫ 0 ∞ e - λ x   d x

Resolvendo a integral do lado direito, temos

2 ∫ 0   ∞ x e - λ x   d x = 2 λ ∙ - e - λ x λ 0 ∞ = 2 λ 2

Portanto, nós provamos que

E X 2 = 2 λ 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)