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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 5.Exercícios Teóricos - Ex. 5

Use o resultado que diz que, para uma variável aleatória não negativa Y,

E Y = ∫ 0 ∞ P Y > t   d t

Para mostrar, para uma variável aleatória não negativa X,

E X n = ∫ 0 ∞ n x n - 1 P X > x   d x

Dica: Comece com

E X n = ∫ 0 ∞ P X n > t   d t

E faça a mudança de variáveis t = x n .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Para variável aleatória não negativa X , temos que também X n é não negativa variável aleatória e que s → s n é a transformação bijetiva nesse domínio. Usando dada a informação de como podemos calcular a expectativa, temos que

E X n = ∫ 0 ∞ P X n > t   d t

Passo 2

Agora, vamos fazer a substituição t = x n . Assim temos que d t = n x n - 1   d x , mas

os limites não mudam, eles permanecem os mesmos. Portanto

∫ 0 ∞   P X n > t   d t = ∫ 0 ∞ P X n > x n n x n - 1   d x = ∫ 0 ∞ n x n - 1 P X > x   d x

A última igualdade é verdadeira, pois dissemos que a transformação é bijetiva, então

pode aplicar inversa. Assim, provamos o alegado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)