Use a Tabela 7.2 para determinar a distribuição de ∑ i = 1 n X i quando X 1 , … , X n são variáveis aleatórias exponenciais independentes e identicamente distribuídas, cada uma com média 1 λ .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Nós temos que X 1 , … ,   X n têm distribuição exp ⁡ ( λ ) e que são independentes. Então, todos eles têm uma FGM comum

M t = λ λ - 1

Vamos definir Y = ∑ i = 1 n X i , nós temos que

M Y t = E e t Y = E e t ∑ i = 1 n X i

Com isso, nós obtemos o seguinte resultado

M Y t = ∏ i = 1 n E e t X i = M t n

Passo 2

Onde a terceira e a quarta igualdade são válidas, pois as variáveis X i ​​são independentes e

igualmente distribuídos. Então, temos isso

M Y t = λ λ - t n

Agora, usando a FGM calculado de Y , podemos reconhecer que Y tem uma distribuição gamma com parâmetros n e λ .

Resposta

∑ X i   ~   G a m m a n , λ