Enunciado

Use o teorema do limite central para calcular a média e o desvio padrão da distribuição amostral das médias indicada. Depois, esboce um gráfico da distribuição amostral.

O consumo anual per capita de frutas cítricas pela população dos Estados Unidos é normalmente distribuído, com uma média de 85,6 libras e um desvio padrão de 20,5 libras. Amostras aleatórias de tamanho 35 são retiradas da população e a média de cada amostra é determinada. (Adaptado de: U.S. Department of Agriculture.)

Passo 1

Olá galerinha, pra gente resolver esse exercício precisamos relembrar o Teorema do Limite Central. Vamos lá!

  1. Se amostras de tamanho n , em que n ≥ 30 , são retiradas ao acaso de uma população qualquer com uma média ( μ ) e um desvio padrão ( σ ), então a distribuição amostral das médias se aproxima de uma distribuição normal. Quanto maior o tamanho da amostra, melhor a aproximação.
  2. Se a população é normalmente distribuída, então a distribuição amostral das médias é normalmente distribuída para qualquer tamanho de amostra n .

Em qualquer dos casos, a distribuição amostral das médias tem média ( μ x - ) igual à média da população:

μ x - = μ

A distribuição amostral das médias tem desvio padrão ( σ x - ) igual ao desvio padrão da população dividido pela raiz quadrada de n .

σ x - = σ n

Passo 2

Temos que:

μ = 85,6   l i b r a s

σ = 20,5   l i b r a s

n = 3 5

Então a média da distribuição amostral das médias:

μ x - = μ

μ x - = 85,6   l i b r a s

E o desvio padrão:

σ x - = σ n = 20,5 35

σ x - ≈ 3,465   l i b r a s

Resposta

μ x - = 85,6   l i b r a s

σ x - ≈ 3,46 5   l i b r a s