Uma variável aleatória de Cauchy padrão tem função densidade

Mostre que, se X é uma variável aleatória padrão de Cauchy, então 1/X também é uma variável aleatória padrão de Cauchy.

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Para acharmos a função densidade de probabilidade, vamos:

Para resolvermos, vamos usar fazer uma pequena substituição:

Jogando na fórmula:

Que também é a função de densidade de probabilidade de uma distribuição de Cauchy padrão.

Assim, também é uma distribuição padrão de Cauchy.