Enunciado

Para uma variável aleatória inteira não negativa N, mostre que

∑ i = 0 ∞ P N ≥ i = 1 2 E N 2 - E N

Dica: ∑ i = 1 ∞ i P [ N > i ] = ∑ i = 0 ∞ ∑ k = i + 1 ∞ P N = k .   A g o r a   t r o q u e   a   o r d e m   d a   s o m a

Passo 1

E aí.....tudo belezinha?

Considerando que   A ⊂ B , a intersecção destes conjuntos será igual a B, sendo assim:

P A B = P B ⋂ A P B = P B P B = 1

Considerando isso vemos, que o complementar de B, se torna o A, sendo assim a segunda expressão fica:

P A B c = P A ⋂ B c P A = P A ⋂ A P A = 0

Para a terceira expressão teremos:

P B A =   P A ⋂ B P A = P B P A

Para a última expressão teremos que, o complementar de A não deve pertencer nem a A nem a B, e como o A contém o B, a intersecção entre esses eventos não existirá e consequentemente a probabilidade também não.

P B A c = P B ⋂ A c P A c = ∄

E agora, bora para a próxima questão =)

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