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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 7.Exercícios Teóricos - Ex. 46

Para uma variável aleatória normal padrão X, seja μ n = E [ Z n ] . Mostre que

μ n = 0 ,     q u a n d o   n   é   í m p a r 2 j ! 2 j j ! ,     q u a n d o   n = 2 j

Dica: Comece expandindo a função geratriz de momentos de Z em uma série de Taylor em torno de 0 para obter

E e t Z = e t 2 / 2 = ∑ j = 0 ∞ t 2 2 j j !

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Nós é dado que Z   ~   N ( 0,1 ) , então, a função geratriz de momentos de Z é

M Z t = e t 2 2

Como a função acima é uma do tipo exponencial, nós podemos expandir para uma série de Taylor de uma maneira bem simples, então, usando a definição de uma função exponencial, nós temos que

M Z t = ∑ n = 0 ∞ t 2 2 n n ! = ∑ n = 0 ∞ t 2 n 2 n n !

Vamos considerar apenas os termos pares,

M Z t = ∑ n   p a r 1 2 n 2 n 2 ! t n

Passo 2

Portanto, M Z ( t ) é uma série que contém apenas somas pares, portanto

E Z n = 0

Para um n ímpar não existem somas desse tipo, para um termo n = 2 j , nós temos que

E Z n = M n 0 = n ! 2 j j !

Então, nós provamos o que foi pedido

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)